a<b<c，x属于R,若|x-a|+|x-b|+|x-c|>k恒成立，求k的取直范围

其实有一个很简单的做法。
在数轴上分别标出a b c,要使|x-a|+|x-b|+|x-c|>k恒成立即求
|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值。
而这个式子的意义就是在数轴上找一个的点使得到a b c三点距离的和最小。
观察在x<a和x>c都不满足。
所以x必然在[a,c],|x-a|+|x-c|=c-a
要使|x-a|+|x-b|+|x-c|最小，即使得x=b满足。
所以k<c-a

解答：
取f(x)=|x-a|+|x-b|+|x-c|,
∵|x-a|+|x-b|+|x-c|>k恒成立
∴f(x)的最小值＞k。
先化简f(x):
①当x＜a：f(x)=a-x+b-x+c-x=(a+b+c)-3x；
②当a≤x＜b：f(x)=x-a+b-x+c-x=(b+c-a)-x；
③当b≤x＜c：f(x)=x-a+x-b+c-x=(c-a-b)+x；
④当x≥c:f(x)=x-a+x-b+x-c=3x-(a+b+c).
再求f(x)的最小值。
注意①②都是减函数，③④都是增函数。
①中f(a)最小，但恰好等于②中f(a)，而②中f(a)＞f(b)；
②中f(b)＝③中f(b)＝c-a且最小；
④中f(c)最小，f(c)=2c-a-b,
但f(c)=2c-a-b＝(c-a)+(c-b)＞c-a＝f(b).
综上得，f(b)=c-a是f(x)的最小值。
∴k＜c-a为所求。